Question

【题目】如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

（1）求点C及顶点M的坐标．

（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接求面积的最大值及此时点N的坐标．

（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (0,-3)，(1,-4)；(2) ，()；(3) G点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，5)；(4) P点坐标存在，为或．

【解析】

(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，由公式即可求出顶点M坐标；

(2)如下图所示，过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N()，求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据即可求解；

(3)设D点坐标为(1,t)，G点坐标为()，然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；

(4)连接AC，由CE=CB可知∠B=∠E，求出MC的解析式，设P(x,-x-3)，然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解.

解：(1)令中x=0，此时y=-3，故C点坐标为(0,-3)，

又二次函数的顶点坐标为，代入数据解得M点坐标为，

故答案为：C点坐标为(0，-3)， M点坐标为(1，-4)；

(2) 过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如下图所示：

令中y=0，解得B(3,0)，A(-1,0)，

设直线BC的解析式为：，代入C(0,-3)，B(3,0)，

∴，解得，即直线BC的解析式为：，

设N点坐标为()，故Q点坐标为，其中，

则

，其中分别表示Q,C,B三点的横坐标，

且，，

故，其中，

当时，有最大值为，

此时N的坐标为()，

故答案为：有最大值为，N的坐标为()；

(3) 设D点坐标为(1,t)，G点坐标为()，且B(3,0)，C(0,-3)

分类讨论：

情况①：当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：

线段DG的中点坐标为，即，

线段BC的中点坐标为，即，

此时DG的中点与BC的中点为同一个点，

故，解得，

检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为(2，-3)；

情况②：当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：

线段DB的中点坐标为，即，

线段GC的中点坐标为，即，

此时DB的中点与GC的中点为同一个点，

故，解得，

检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为(4，5)；

情况③：当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：

线段DC的中点坐标为，即，

线段GB的中点坐标为，即，

此时DB的中点与GC的中点为同一个点，

故，解得，

检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为(-2，5)；

综上所述，G点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，5)；

(4) 连接AC，OP，如下图所示，

设MC的解析式为：y=kx+m，代入C(0,-3)，M(1，-4)

即，解得

∴MC的解析式为：，令，求得E点坐标为(-3,0)，

∴OE=OB=3，且OC=OC，

∴CE=CB，即∠B=∠E，

设P(x,-x-3)，又∵P点在线段EC上，∴-3<x<0，

则，，

由题意知：△PEO相似△ABC，

分类讨论：

情况①：

∴，解得，满足-3<x<0，此时P的坐标为；

情况②：

∴，解得，满足-3<x<0，此时P的坐标为．

综上所述，P点的坐标为或．