题目内容
【题目】如图,已知:E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接 CD,且交 OE 于点F.
(1)求证:OD=OC;
(2)求证:OE 是 CD 的垂直平分线;
(3)若∠AOB=60°,请你探究 OE,EF 之间有什么数量关系?并证明你的结论.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)OE=4EF.
【解析】
(1)证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可,(2)通过上一问得OD=OC,ED=EC即可证明,(3)根据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系。
证明:(1)∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是 C,D,
∴DE=CE,∠EOD=∠EOC,
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE,
∴OD=OC;
(2)∵Rt△ODE≌Rt△OCE,
∴OD=OC,ED=EC,
∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上,
∴OE 是 CD 的垂直平分线;
(3)OE=4EF.
∵OE 是∠AOB 的平分线,∠AOB=60°,
∴∠AOE=∠BOE=30°,
∵EC⊥OB,ED⊥OA,
∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,
∴∠EDF=30°,
∴DE=2EF,
∴OE=4EF.
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