Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，l2交x轴于点A，点P是直线l1上一动点，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q

（1）求出点A的坐标；

（2）连接AP，当△APQ为以PQ为底边的等腰三角形时，求点P和点Q的坐标；

（3）点B为OA的中点，连接OQ、BQ，若点P在y轴的左侧，M为直线y＝﹣1上一动点，当△PQM与△BOQ全等时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)；（2）P(3，)，Q(3，﹣)；（3）M(﹣1，﹣1)或(﹣1，8)

【解析】

（1）求出直线l2的解析式为y＝﹣x+1，即可求A的坐标；

（2）设点P（x，﹣x+2），Q（x，﹣x+1），由AQ＝AP，即可求P点坐标；

（3）设P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），则Q（n，﹣n+1），可求出BQ＝，OQ＝，PM＝，QM＝，①当△PQM≌△BOQ时，PM＝BQ，QM＝OQ，结合勾股定理，求出m；②当△QPM≌△BOQ时，有PM＝OQ，QM＝BQ，结合勾股定理，求出m即可．

解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，

∴直线l2的解析式为y＝﹣x+1，

∵l2交x轴于点A，

∴A（2，0）；

（2）当△APQ为以PQ为底边的等腰三角形时，

∴AQ＝AP，

∵点P是直线l1上一动点，

设点P（x，﹣x+2），

∵过点P作PQ∥y轴交l2于点Q

∴Q（x，﹣x+1），

∴（﹣x+2）2＝（﹣x+1）2，

∴x＝3，

∴P（3，），Q（3，﹣）；

（3）∵点B为OA的中点，

∴B（1，0），

∴PQ＝BO＝1，

设P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），则Q（n，﹣n+1），

∴BQ＝，OQ＝，

PM＝，QM＝，①

∵△PQM与△BOQ全等，

①当△PQM≌△BOQ时，

有PM＝BQ，QM＝OQ，

＝，＝，

∴n＝2m﹣2，

∵点P在y轴的左侧，

∴n＜0，

∴m＜1，

∴m＝﹣1，

∴M（﹣1，﹣1）；

②当△QPM≌△BOQ时，

有PM＝OQ，QM＝BQ，

＝，＝，

∴n＝﹣m，

∵点P在y轴的左侧，

∴n＜0，

∴m＞2，

∴m＝8，

∴M（﹣1，8）；

综上所述，M（﹣1，﹣1）或M（﹣1，8）．1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，