题目内容

【题目】如图,点PQ分别是边长为4cm的等边△ABCABBC上的动点(端点除外),点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,连接AQCP交于点M,则在PQ运动的过程中,

1)求证:△ABQ CAP

2)∠CMQ的大小变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;

3)连接PQ,当点PQ运动多少秒时,△APQ是等腰三角形?

【答案】1)证明见解析;(2)∠CMQ的大小不变且为60度;(3t=2.

【解析】

1)根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明;

2)根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP,根据三角形的外角的性质解答;

3)分三种情况分别讨论即可求解.

1)根据路程=速度×时间可得:AP=BQ

∵△ABC是等边三角形

∴∠PAC=∠B=60°AB=AC

∴△ABQ≌△CAPSAS

2∵ △ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴∠CMQ=∠ACM+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=60°

因此,CMQ的大小不变且为60

3)当AP=AQ时,仅当P运动到B点,Q运动到C点成立,故不符合题意;

PQ=AQ时,仅当P运动到B点,Q运动到C点成立,故不符合题意;

AP=PQ时,如图,当AQBC时,AP=BP=PQ,t=2÷1=2时,APQ为等腰三角形;

综上,当t=2时,APQ为等腰三角形,此时AP=PQ.

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