Question

【题目】如图，在中，，是边上任意一点(点与点、不重合)，以为一直角边在的外部作，，连接，．

（1）在图中，若，，现将图中的绕着点顺时针旋转锐角，得到图，那么线段，之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；

（2）在图中，若，，，，现将图中的绕着点顺时针旋转锐角，得到图，连接、．

①求证：；

②计算：的值．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD；理由见解析；（2）①证明见解析；②170．

【解析】

（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△ABE≌△ACD，即可解决问题；

（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△BAE∽△CAD；

②由①得到∠BEA=∠CDA，再根据等量代换得到∠EGD=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理计算即可.

（1）BE=CD，BE⊥CD

理由：如图，设CD与BE、AE分别交于点G、F.

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE

即∠BAE=∠CAD

又∵AB=AC，AE=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∠ADC=∠AEB

∵∠EAD=90°，∴∠ADC+∠AFD=90°，

又∵∠ADC=∠AEB，∠AFD=∠EFG

∴∠AEB+∠EFG=90°，

∴∠EGF=90°

∴BE⊥CD

（2）①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD

∵AB=5，AC=3，AE=10，AD=6

∴,，∴

∴△BAE∽△CAD

②如图，延长DC交BE于点G

∵△BAE∽△CAD

∴∠BEA=∠CDA

在Rt△ADE中，∠ADE+∠AED=90°

∴∠CDA+∠CDE+∠AED=90°

∴∠BEA+∠AED+∠CDE=90°

∴∠EGD=90°