题目内容
【题目】如图,一次函数的图象与二次函数
的图象交于坐标轴上的
两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点是直线
上方抛物线上一点,过点
分别作
轴
轴平行线分别交直线
于点
和点
,设点
的横坐标为
,请用含
的代数式表示
的周长,并求出当
的周长取得最大值(不需要求出此最大值)时点
的坐标;
(3)点是直线
上一点,点
是抛物线上一点,在第二问
的周长取得最大值的条件下,请直接写出使以点
为顶点的四边形是平行四边形的点
的坐标.
【答案】(1);(2)周长
,
;(3)点
的坐标为
或
【解析】
(1)先利用一次函数解析式,求出A,B坐标,再代入,求出b,c即可得到二次函数解析式;
(2)设点,可得出PQ的表达式,易证
为等腰直角三角形,即可得出
,再利用二次函数的性质可得出周长最大时M的坐标;
(3)设,
,根据平行四边形对角线互相平分的性质,分别讨论PC,PQ,PD为对角线,建立方程求解.
解:(1)令中
为0得y=4,则
,
令y=0,得,解得
,则
分别将点的坐标代人到
,
得,解得
∴二次函数的解析式为.
(2)由题意设点,
则.
∵,
∴,
∵轴,
轴,
∴,即
为等腰直角三角形.
设的周长为
,则
,
即.
当时,
的周长取得最大值,
将代入到
中可得,
,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
∴,
∴
(3)设,
,
在(2)的条件下P点坐标为,Q点坐标为
①当PC为对角线时,
,解得
此时C与Q点重合,不符合题意,舍去;
②当PQ为对角线时,
,解得
此时C与Q点重合,不符合题意,舍去;
③当PD为对角线时,
,解得
或
当时,
,即
当时,
,即
综上,点的坐标为
或
.

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