Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为
（0，），点D的坐标为（1，），点C在轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点．

（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2） 在轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与轴、直线OP相切．若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O、M、D的圆与轴的正半轴交于点N．求证：OM+ON为定值．
（4）在轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．

Answer 1

（1） （2） （3）H                               

试题分析：解：(1) 设抛物线的解析式为，
将（0，0）代入，得 ，
∴抛物线的解析式为即       2分
                                                      4分

（2）若⊙Q在直线OP上方，则Q与D点重合，此时Q₁；           
若⊙Q在直线OP下方，与轴、直线OP切于E、F，
则QE=QF，QE⊥轴，QF⊥OP
∴OQ平分∠EOF
∵∠EOF="120°"   ∴∠FOQ=60°
∵∠POC=30°，则∠QOC=30°                                  
设Q，则
解得（舍去），      ∴              8分
（3）∵在过点O、M、D的圆中，有∠MOD=∠NOD ∴      ∴MD= ND
易得OD平分∠AOP，DA⊥轴，DP⊥OP ∴DA= DP
可证得△NAD≌△MPD（HL）  ∴MP= AN  
∴OM+ON= OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，
则OM+ON=，即OM+ON为定值．                              11分
（4）作过P、D两点且与轴相切于点H的圆S，
则由圆周角大于圆外角可知，∠PHD最大．                         12分
设，则由HS=SD=SP
可得，
H                                14分

点评：此题比较综合，把几何图形和二次函数结合起来考察学生，要求学生都知识的掌握程度比较高，解答过程稍微比较复杂，是区分学生成绩的题目。