题目内容

【题目】如图1所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B、C、G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM,易证:DM=FM,DM⊥FM(无需写证明过程)

(1)如图2,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系?请写出猜想,并给予证明;

(2)如图3,当点E、B、C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系?请直接写出猜想.

【答案】(1)DM⊥FM,DM=FM,证明见解析

(2)DM⊥FM,DM=FM.

析】

试题分析:(1)连接DF,NF,由四边形ABCD和CGEF是正方形,得到AD∥BC,BC∥GE,于是得到AD∥GE,求得∠DAM=∠NEM,证得△MAD≌△MEN,得出DM=MN,AD=EN,推出△MAD≌△MEN,证出△DFN是等腰直角三角形,即可得到结论;

(2)连接DF,NF,由四边形ABCD是正方形,得到AD∥BC,由点E、B、C在同一条直线上,于是得到AD∥CN,求得∠DAM=∠NEM,证得△MAD≌△MEN,得出DM=MN,AD=EN,推出△MAD≌△MEN,证出△DFN是等腰直角三角形,于是结论得到.

试题解析:(1)如图2,DM=FM,DM⊥FM,

证明:连接DF,NF,

∵四边形ABCD和CGEF是正方形,

∴AD∥BC,BC∥GE,

∴AD∥GE,

∴∠DAM=∠NEM,

∵M是AE的中点,

∴AM=EM,

在△MAD与△MEN中,,∴△MAD≌△MEN,∴DM=MN,AD=EN,

∵AD=CD,∴CD=NE,∵CF=EF,∠DCF=∠DCB=90°,

在△DCF与△NEF中,,∴△MAD≌△MEN,∴DF=NF,∠CFD=∠EFN,

∵∠EFN+∠NFC=90°,∴∠DFC+∠CFN=90°,∴∠DFN=90°,

∴DM⊥FM,DM=FM

(2)猜想:DM⊥FM,DM=FM,

证明如下:如图3,连接DF,NF,连接DF,NF,

∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∵点E、B、C在同一条直线上,

∴AD∥CN,∴∠ADN=∠MNE,

在△MAD与△MEN中,

∴△MAD≌△MEN,∴DM=MN,AD=EN,∵AD=CD,∴CD=NE,∵CF=EF,∵∠DCF=90°+45°=135°,∠NEF=180°﹣45°=135°,∴∠DCF=∠NEF,

在△DCF与△NEF中,,∴△MAD≌△MEN,∴DF=NF,∠CFD=∠EFN,

∵∠CFD+∠EFD=90°,∴∠NFE+∠EFD=90°,∴∠DFN=90°,

∴DM⊥FM,DM=FM.

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