题目内容
【题目】【操作发现】
如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;
(2)在(1)所画图形中,∠AB′B= .
【问题解决】
如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.
小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:
想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;
想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.
…
请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)
【灵活运用】
如图③,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).
【答案】【操作发现】(1)作图见解析;(2)45°;【问题解决】7;【灵活运用】.
【解析】试题分析:【操作发现】(1)根据旋转角,旋转方向画出图形即可;(2)只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可;【问题解决】如图②,将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,只要证明∠PP′C=90°,利用勾股定理即可解决问题;【灵活运用】如图③中,由AE⊥BC,BE=EC,推出AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,只要证明∠GDC=90°,可得CG= ,由此即可解决问题.
试题解析:【操作发现】(1)如图所示,△AB′C′即为所求;
(2)连接BB′,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,
∴AB=AB′,∠B′AB=90°,
∴∠AB′B=45°,
故答案为:45°;
【问题解决】如图②,
∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,
∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°,
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,
∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,
∴PP′=PC,即AP=PC,
∵∠APC=90°,
∴AP2+PC2=AC2,即(PC)2+PC2=72,
∴PC=2,
∴AP=,
∴S△APC=APPC=7;
【灵活运用】如图③中,∵AE⊥BC,BE=EC,
∴AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=kAB,
∴DG=kBC=4k,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG== .
∴BD=CG=.
【题目】某校计划成立学生社团,要求每一位学生都选择一个社团,为了了解学生对不同社团的喜爱情况,学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个学生社团”问卷调查,规定每人必须并且只能在“文学社团”、“科学社团”、“书画社团”、“体育社团”和“其他”五项中选择一项,并将统计结果绘制了如下两个不完整的统计图表.
社团名称 | 人数 |
文学社团 | 18 |
科技社团 | a |
书画社团 | 45 |
体育社团 | 72 |
其他 | b |
请解答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)在扇形统计图中,“书画社团”所对应的扇形圆心角度数为 ;
(3)若该校共有3000名学生,试估计该校学生中选择“文学社团”的人数.