题目内容
【题目】如图①，
的顶点
在正方形
两条对角线的交点处，
，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边
和
交于点
和点
（点与点
，
不重合）．
（1）如图①，当
时，求
，
，之间满足的数量关系，并证明；
（2）如图②，将图①中的正方形改为
的菱形，其他条件不变，当
时，（1）中的结论变为
，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边
与射线交于点，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）当点
落在
上时
，当点落在的延长线上时DF-DE=
AD，见解析.
【解析】
（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3））①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=AD．
解：（1）∵正方形
的对角线
，
交于点
，
，
，
，
，
．
∴
，
∵，∴
∴
，
∵
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴，
（2）方法一：如图②，取的中点
，连接
，
∵四边形为菱形，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴
，
又∵
，
∴
又∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
，
∵是的中点，
∴，
∴，
方法二：如图②，取的中点，连接，
∵四边形为菱形，
∴
，
∴，，
，,
∴
，
∴在
中，
，
又∵是的中点，∴，
∴
，，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（3）
在整个运动变化过程中，
①当点落在上时，方法同上可得：，
②当点落在的延长线上时，取AD中点M，连接PM，
如图③，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=AD．
