Question

【题目】已知：函数y＝﹣x2+mx+2m（m为常数）的图象不经过第二象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为12.25，则m的值为_____．

Answer 1

【答案】-3或-5

【解析】

由题意可知m≤0，当≤0时，△≤0，则﹣8≤m≤0，函数的最大值为+2m，函数的最小值为3m﹣1，据此结合已知进行求解即可得.

∵函数y＝﹣x2+mx+2m（m为常数）的图象不经过第二象限，-1＜0，

∴函数图象开口向下，与y轴交于原点或负半轴，

∴2m≤0，此时△≤0，

∴m≤0，

∵抛物线的对称轴x＝，

∴≤0，

即对称轴在y轴或y轴左侧，

∴抛物线与x轴的交点又一个或没有交点，

∴△=m2+8m≤0，

∴﹣8≤m≤0，

∴-4≤≤0，

∴当﹣5≤x≤1时，

函数在x=时取最大值为+2m，

x=-5时，y=-25-3m，

x=1时，y=3m-1，

∵-25-3m-(3m-1)=-24-6m，

∴当﹣8≤m<-4时，-25-3m-(3m-1)=-24-6m>0，

当﹣4≤m≤0时，-25-3m-(3m-1)=-24-6m≤0，

∴①当﹣8≤m<-4时， 3m-1为最小值，

则有+2m﹣3m+1＝12.25，

∴m＝﹣5或m＝9（舍去）；

②当﹣4≤m≤0时，-25-3m为最小值，

则有+2m-(-25-3m)＝12.25，

∴m=-3或m=-17（舍去），

综上，m=-3或m=-5，

故答案为：-3或-5.