题目内容
【题目】已知：在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G.
(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：
；
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论；
(3)如图③，若BA＝BC＝9，DA＝DC＝12，∠BAD＝90°，DE⊥CF.求
的值．
【答案】（1）详见解析；（2）)当∠B＝∠EGC或∠B＋∠EGC＝180°时，
成立，证明详见解析；（3）
.
【解析】
（1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余关系整除∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；
（2）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，由等腰三角形的性质得出∠CMF=∠CFM．由平行四边形的性质得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，证出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．证明△ADE∽△DCM，得出对应边成比例得
即可得出结论；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，建立方程求出求出CN，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠ADE＋∠CDG=90°.
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＋∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF.
又∵∠A=∠CGD=90°，
∴△ADE∽△GCD，
∴
即
(2)当∠B=∠EGC或∠B＋∠EGC=180°时，成立．
证明：当∠B＝∠EGC时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图①，∴四边形CMDG是平行四边形，
∴CG=DM，∠M=∠CGD，∠CDG＝∠DCM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A＋∠B=180°，∠FCB=∠CFD.
∵∠B=∠EGC，∴∠A＋∠EGC=180°.
∵∠EGC＋∠CGD=180°，
∴∠A=∠CGD，
∴∠A=∠CGD=∠M.
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDG.
∵∠CDG=∠DCM，
∴∠AED=∠DCM，
∴△ADE∽△MDC，
∴
∵CG=DM，
∴
即
当∠B＋∠EGC=180°时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CFD=∠BCF.
∵∠B＋∠EGC=180°，
∴∠GEB＋∠BCF=180°，
∴∠BCF=∠AED，
∴∠CFD=∠AED.
∵∠ADE=∠GDF，
∴△FDG∽△EDA，
∴
，即
∵AB∥CD，∴∠AED=∠CDE，
∴∠CFD=∠CDE.
∵∠FCD=∠DCG，
∴△FCD∽△DCG，
∴
∴
∴
(3)如图③，过点C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN=x，
∵∠BAD=90°，
∴∠A=∠M=∠CAN=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM.
∵在△BAD和△BCD中，
∴△BAD≌△BCD，
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC＋∠ADC=180°.
∵∠ABC＋∠MBC=180°，
∴∠MBC=∠ADC.
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴
即
，∴
在Rt△CMB中，，BM=AM－AB=x－9，
由勾股定理，得BM2＋CM2=BC2，
∴
解得x1=0(舍去)，
∴
∵∠A=∠FGE=90°，
∴∠AED＋∠AFG=180°.
∵∠AFG＋∠NFC=180°，
∴∠/span>AED=∠NFC.
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
