题目内容

【题目】学本课堂的实践中,王老师经常让学生以问题为中心进行自主、合作、探究学习.

(课堂提问)王老师在课堂中提出这样的问题:如图1,在RtABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么BCAB有怎样的数量关系?

(互动生成)经小组合作交流后,各小组派代表发言.

1)小华代表第3小组发言:AB=2BC. 请你补全小华的证明过程.

证明:把ABC沿着AC翻折,得到ADC.

∴∠ACD=ACB=90°

∴∠BCD=ACD+ACB=90°+90°=180°

即:点BCD共线.(请在下面补全小华的证明过程)

2)受到第3小组翻折的启发,小明代表第2小组发言:如图2,在ABC中,如果把条件ACB=90°”改为ACB=135°”,保持BAC=30°”不变,若BC=1,求AB的长.

(思维拓展)如图3,在四边形ABCD中,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∠ADB=CDB=60°,且AC=3,则ABD的周长为 .

(能力提升)如图4,点DABC内一点,AD=AC,∠BAD=CAD=20°,∠ADB+ACB=210°,则ADDBBC三者之间的相等关系是 .

【答案】1)证明见解析;(2;(3;(4DB2+BC2=AD2.

【解析】

1)根据提示证明出△ABD为等边三角形即可说明BCAE的关系;

2)过点BAC边的垂线,AC的延长线于点D ,,则,解出即可;

3)思维拓展:BDCD于点E ,CF垂直AD的延长线于点F,设,然后表示出,边建立方程解出即可.

4)能力提升:把△ABD沿AB边翻折得到△AEB,连接ED , EC ,先通过角度转换得到 再证明,,即可求出ADDBBC 边的关系;

1)证明:把△ABC沿AC翻折,得到△ADC,

∴∠ACD=∠ACB90°,

∴∠BCD=ACD+∠ACB90°+90°=180°,

即:点BCD共线,

AB=AD,

∵∠BAC=30°,

∴∠ABC=60°,

∴△ABD为等边三角形,

AB=BD=2BC.

2)过点BAC边的垂线,AC的延长线于点D,

∵∠ACB=135°,

∴∠BCD=45°,

∵∠BDC=90°,BC=1,

BD,则CDBC,

,

解得:

∵∠BAC30°,

AB2BD.

思维拓展:

3)作BDCD于点E ,CF垂直AD的延长线于点F ,

∵∠BAD=90°,ADB=CDB=60°,

∴△BAD≌△BED

∵∠BCD=45° ,

BE=CE

AD=x ,

BD= 2AD=2x ,

EC=EB=AB=,

∴∠FDC=60°,∠ECD=30°,

AC1,

中, ,

解得:

,

则△ABD的周长为:.

4)能力提升:

把△ABD沿AB边翻折得到△AEB,连接EDEC,

∵∠BAD=∠CAD=20°,

∴∠EAB=20°,

∴∠EAC60°,

∵∠ACB+∠ADB210°, AEB=∠ADB,

∴∠ACB=∠AEB210°,

∴∠EBC360°-210°-60°=90°,

ADACAEAD

AEAC,

∴△AEC为等腰三角形,

ECAEAD

中,,

EBBD,ECAD,

.

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