题目内容
【题目】在“学本课堂”的实践中,王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习.
(课堂提问)王老师在课堂中提出这样的问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么BC和AB有怎样的数量关系?
(互动生成)经小组合作交流后,各小组派代表发言.
(1)小华代表第3小组发言:AB=2BC. 请你补全小华的证明过程.
证明:把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,
即:点B、C、D共线.(请在下面补全小华的证明过程)
(2)受到第3小组“翻折”的启发,小明代表第2小组发言:如图2,在△ABC中,如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”,保持“∠BAC=30°”不变,若BC=1,求AB的长.
(思维拓展)如图3,在四边形ABCD中,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∠ADB=∠CDB=60°,且AC=3,则△ABD的周长为 .
(能力提升)如图4,点D是△ABC内一点,AD=AC,∠BAD=∠CAD=20°,∠ADB+∠ACB=210°,则AD、DB、BC三者之间的相等关系是 .
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
;(4)DB2+BC2=AD2.
【解析】
(1)根据提示证明出△ABD为等边三角形即可说明BC和AE的关系;
(2)过点B作AC边的垂线,交AC的延长线于点D ,设,则
,解出
即可;
(3)思维拓展:作BD⊥CD于点E ,作CF垂直AD的延长线于点F,设,
,然后表示出
,
边建立方程解出
即可.
(4)能力提升:把△ABD沿AB边翻折得到△AEB,连接ED , EC ,先通过角度转换得到 再证明
,
,即可求出AD、DB、BC三 边的关系;
(1)证明:把△ABC沿AC翻折,得到△ADC,
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,
即:点B、C、D共线,
∴AB=AD,
∵∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴AB=BD=2BC.
(2)过点B作AC边的垂线,交AC的延长线于点D,
∵∠ACB=135°,
∴∠BCD=45°,
∵∠BDC=90°,BC=1,
设BD=,则CD=BC=
,
,
解得:,
∵∠BAC=30°,
∴ AB=2BD=.
思维拓展:
(3)作BD⊥CD于点E ,作CF垂直AD的延长线于点F ,
∵∠BAD=90°,∠ADB=∠CDB=60°,
∴△BAD≌△BED,
∵∠BCD=45° ,
∴BE=CE,
设AD=x ,
∴BD= 2AD=2x ,
∴,
∴EC=EB=AB=,
∴
∴∠FDC=60°,∠ECD=30°,
∴ ,
∴ ,
∵AC=1,
在中,
,
则
,
解得:,
,
,
则△ABD的周长为:.
(4)能力提升:
把△ABD沿AB边翻折得到△AEB,连接ED,EC,
∵∠BAD=∠CAD=20°,
∴∠EAB=20°,
∴∠EAC=60°,
∵∠ACB+∠ADB=210°, ∠AEB=∠ADB,
∴∠ACB=∠AEB=210°,
∴∠EBC=360°-210°-60°=90°,
∵AD=AC,AE=AD,
∴AE=AC,
∴△AEC为等腰三角形,
∴EC=AE=AD,
在中,
,
∵EB=BD,EC=AD,
∴.
