Question

【题目】如图，中，，，，且满足.

(1)于，交轴于，求点坐标；

(2)过点作于，交于，若，求的长；

(3)为第一象限一点，交轴于.在上截取，为的中点，求的度数.

Answer 1

【答案】（1）M(0,2)；（2）AN=4；（3）∠OPF=45°.

【解析】

（1）先由条件推出△AOC是等腰直角三角形，再推出△BOM是等腰直角三角形，根据OB=2，得出OM=2，即可得出M的坐标；

（2）由等角的余角相等可得∠BCO=∠OAN=30°，再判定△BOC≌△NOA（ASA），得到BC=NA，再根据Rt△BOC中，BC=2BO=4，即可得AN=4；

（3）连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，再判定△PEF≌△PAD，得出PF=PD，∠FPE=∠DPA，进而判定△OPF≌△OPD，即可出结果.

(1)由题可得，ac≥0，ca≥0，

∴a=c，即OA=OC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OAD=45，

又∵BD⊥AC，

∴∠ABD=45，

又∵∠BOM=90，

∴△BOM是等腰直角三角形，

∴OB=OM，

∵，且a=c，

∴b=2，即OB=2，

∴OM=2，

∴M(0,2)；

(2)∵∠CAN=15°,∠OAC=45°,

∴∠OAN=30°，

∵AG⊥BC，CO⊥AO，

∴∠CNG+∠BCO=90°，∠ANO+∠OAN=90°，

∵∠ANO=∠CNG，

∴∠BCO=∠OAN=30°，

在△BOC和△NOA中，

∴△BOC≌△NOA(ASA)，

∴BC=NA，

又∵Rt△BOC中，∠BCO=30°，

∴BC=2BO=4，

∴AN=4；

(3)如图3,连接OF,把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处,连接DP,

由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，

∵∠AOQ+∠APQ=180°，

∴∠OAP+∠OQP=180°，

又∵∠EQC+∠OQP=180°，

∴∠OAP=∠EQC，

∴∠PEF=∠PAD，

在△PEF和△PAD中，

∴△PEF≌△PAD(SAS)，

∴PF=PD，∠FPE=∠DPA，

∴∠FPD=∠QPA=90°，

∵在△OPF和△OPD中，

∴△OPF≌△OPD(SSS)，

∴∠OPF=∠OPD=∠FPD=45°.