Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB：BC=3:4，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则S△EFC：S△ABC=______________.

Answer 1

【答案】

【解析】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∠DAE=∠HAE，AE=AE，∠ADE=∠AHE，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH．∵AB：BC=3：4，∴设AB=3a，则BC=4a，设BD=BG=x，则AD=AH=3a﹣x、CG=CH=4a﹣x，∵AC==5a，∴3a﹣x+4a﹣x=5a，解得：x=a，∴BD=DE=a，AD=2a，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得：DF=，则EF=DF﹣DE= =，∴ =EF×EG= =， =AB×BC==，∴S△EFC：S△ABC=： =．故答案为： ．