Question

【题目】如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC； ②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：DE是⊙O的切线．

理由：∵四边形OABC是平行四边形，

又∵OA=OC，

∴四边形OABC是菱形，

∴OA=OB=AB=OC=BC，

∴△ABO，△BCO都是等边三角形，

∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，

∵OB=OF，

∴OG⊥BF，

∵AF是直径，CD⊥AD，

∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，

∴四边形BDCG是矩形，

∴∠OCD=90°，

∴DE是⊙O的切线．

（2）①证明由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，

∴△OCF是等边三角形，

∴CF=OC．

②解：在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，

∴OE=2OC=24，EC=12 ，

∵OF=12，

∴EF=12，

∴ 的长= =4π，

∴阴影部分的周长为4π+12+12 ．

【解析】（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．