Question

【题目】如图，一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．

（1）若点C在反比例函数y= 的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）点P（2 ，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣ x+1中，令y=0可解得x= ，令x=0可得y=1，

∴A（ ，0），B（0，1），

∴tan∠BAO= = = ，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，

∴AC=2，

∴C（ ，2），

∵点C在反比例函数y= 的图象上，

∴k=2× =2 ，

∴反比例函数解析式为y=

（2）

解：∵P（2 ，m）在第一象限，

∴AD=OD﹣OA=2 ﹣ = ，PD=m，

当△ADP∽△AOB时，则有 = ，即 = ，解得m=1，此时P点坐标为（2 ，1）；

当△PDA∽△AOB时，则有 = ，即 = ，解得m=3，此时P点坐标为（2 ，3）；

把P（2 ，3）代入y= 可得3≠ ，

∴P（2 ，3）不在反比例函数图象上，

把P（2 ，1）代入反比例函数解析式得1= ，

∴P（2 ，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（2 ，1）

【解析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小才能正确解答此题．