题目内容

【题目】在△ABC中,ABAC5cos∠ABC,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C

1)如图,当点B1在线段BA延长线上时.求证:BB1∥CA1△AB1C的面积;

2)如图,点EBC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差.

【答案】1证明见试题解析;;(2

【解析】试题分析:(1)①根据旋转的性质和平行线的性质证明;

AAF⊥BCF,过CCE⊥ABE,根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答;

(2)过CCF⊥ABF,以C为圆心CF为半径画圆交BCF1,和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,得出最大和最小值解答即可.

试题解析:(1)①证明:∵AB=AC,B1C=BC,

∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,

∵∠AB1C=∠ACB(旋转角相等),

∴∠B1CA1=∠AB1C,

∴BB1∥CA1

AAF⊥BCF,过CCE⊥ABE,如图1:

∵AB=AC,AF⊥BC,BC=6,

∴BF=CF=3,

∴B1C=BC=6,

可得:B1B=2BE,

∵EC=

∴BE=,则BB1=

AB1=﹣5=

∴△AB1C的面积为:

(2)如图2,过CCF⊥ABF,以C为圆心CF为半径画圆交BCF1,EF1有最小值,

此时在Rt△BFC中,CF=

∴CF1=

∴EF1的最小值为﹣3=

如图,以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,EF1有最大值;

此时EF1=EC+CF1=3+6=9,

线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=

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