题目内容
【题目】在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C.
(1)如图①,当点B1在线段BA延长线上时.①求证:BB1∥CA1;②求△AB1C的面积;
(2)如图②,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差.
【答案】(1)①证明见试题解析;②;(2).
【解析】试题分析:(1)①根据旋转的性质和平行线的性质证明;
②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答;
(2)过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,得出最大和最小值解答即可.
试题解析:(1)①证明:∵AB=AC,B1C=BC,
∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,
∵∠AB1C=∠ACB(旋转角相等),
∴∠B1CA1=∠AB1C,
∴BB1∥CA1;
②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,如图1:
∵AB=AC,AF⊥BC,BC=6,
∴BF=CF=3,
∴B1C=BC=6,
可得:B1B=2BE,
∵EC=,
∴BE=,则BB1=,
故AB1=﹣5=,
∴△AB1C的面积为:;
(2)如图2,过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值,
此时在Rt△BFC中,CF=,
∴CF1=,
∴EF1的最小值为﹣3=;
如图,以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,EF1有最大值;
此时EF1=EC+CF1=3+6=9,
∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=.
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