题目内容

【题目】如图1,在正方形ABCD中,点P为AD延长线上一点,连接AC、CP,过点C作CF⊥CP交于C,交AB于点F,过点B作BM⊥CF于点N,交AC于点M.

(1)若AP=AC,BC=4,求S△ACP

(2)若CP﹣BM=2FN,求证:BC=MC;

【答案】(1)S△ACP=7;(2)证明见解析.

【解析】试题分析:1)由正方形的性质得出AB=BC=CD=4ADC=CDP=ABC=BCD=90°,由勾股定理求出AC,得出AP,即可求出SACP;(2)在CF上截取NG=FN,连接BG,则CF-CG=2FN,证出∠BCF=DCP,由ASA证明BCF≌△DCP,得出CF=CP,证出CG=BM,由SAS证明ABM≌△BCG,得出∠AMB=BGC,因此∠BMC=BGF,由线段垂直平分线的性质得出BF=BG,得出∠BFG=BGF,因此∠BMC=CBM,即可得出结论

试题解析:1∵四边形ABC是正方形,

ADBCAB=BC=CD=4ADC=CDP=ABC=BCD=90°

AC=

∴AP=AC=×=

∴S△ACP=AP×CD=××4=7

2)证明:在CF上截取NG=FN,连接BG,如图1所示:

CF﹣CG=2FN

CFCP

∴∠PCF=90°

∴∠BCF=DCP

BCFDCP中,

∴△BCF≌△DCPASA),

CF=CP

CP﹣BM=2FN

CG=BM

∵∠ABC=90°BMCF

∴∠ABM=BCGBFG=CBM

ABMBCG中,

∴△ABM≌△BCGSAS),

∴∠AMB=BGC

∴∠BMC=BGF

GN=FNBMCF

BF=BG

∴∠BFG=BGF

∴∠BMC=CBM

BC=MC.

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