题目内容
【题目】如图,在正方形中,以为腰向正方形内部作等腰,点在上,且.连接并延长,与交于点, 与延长线交于点.连接交于点,连接.若,,则______.
【答案】
【解析】
设DG=3a,CG=9a,作KM⊥CD于M,EN⊥AB于N,想办法求出线段KF、EF、KM、EN、FG,想办法用a的代数式表示四边形EFKC的面积,再求出a即可解决问题;
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ADC=90°,
∵CG=3DG,
∴可以假设DG=3a,CG=9a,
则AB=AD=BC=CD=12a,
∴DG∥AB,
∴===,
∴DH=4a,GH=5a,BH=20a,
∵AE2=BFBH,AE=AB,
∴AB2=BFBH,
∴=,∵∠ABF=∠ABH,
∴△ABF∽HBA,
∴∠AFB=∠BAH=90°,
∴AF==a,BF=a,
∴FG=BH-BF-GH=a,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED,
∵∠ADE+∠GDK=90°,∠KEF+∠EKF=90°,∠EKF=∠GKD,
∴∠GDK=∠GKD,
∴GD=GK=3a,
作KM⊥CD于M,EN⊥AB于N,
∵=,
∴KM=a,
∵△AFB≌△ANE,
∴EN=BF=a,
∴S四边形EFKC=S△EFK+S△ECK
=s△EFK+(S△CDE-S△CDK)
=×a×a+(×12a×a-×12a×a)
=a2,
∵FG=a=,
∴a=,
∴S四边形EFKC=,
故答案为.
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