Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．

（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；
（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么 为何值时，B′P⊥AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形ABCD是平行四边形

证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠B=180°，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形

（2）解：①作图如下：

②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，

由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，

当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，

∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，

∴B′D=B′E，

设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE= a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，

∴B′E=b﹣ a=B′D，

∴C′D=a+b﹣（b﹣ a）=a+ a，

∴直角三角形C′QD中，C′Q= a=CQ，DQ= C′Q= a，

∵CD=DQ+CQ=a+b，

∴ a+ a=a+b，

整理得（ +1）a=b，

∴ = = ，即 =

【解析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；（2）①根据轴对称的性质进行作图即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出B′D=B′E，再设AP=a，BP=b，利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来，最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式，求得a、b的比值即可．本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．