题目内容
【题目】如图:抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD,
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求当x取多少时,S的值最大,最大是多少?
【答案】
(1)解:∵OC=4,OD=2,
∴DM=6,
∴点M(2,6),
设y=a(x﹣2)2+6,代入(0,4)得:a=﹣ ,
∴该抛物线解析式为y=﹣ (x﹣2)2+6
(2)解:设点P(x,﹣ (x﹣2)2+6),即(x,﹣ x2+2x+4),
过点P作x轴的垂线,交直线CD于点F,
设直线CD为y=kx+4,代入(2,0)得k=﹣2,即y=﹣2x+4,
∴点F(x,﹣2x+4),
∴PF=﹣ x2+2x+4﹣(﹣2x+4)=﹣ x2+4x,
∴S= 2(﹣ x2+4x)=﹣ x2+4x,
令y=a(x﹣2)2+6=0,
解得x1=2+2 ,x2=2﹣2 (舍去),
∴0<x<2+2 ,
∵S=﹣ x2+4x=﹣ (x﹣4)2+8,
∴当x=4时,S有最大值为8.
【解析】(1)由OC与OD的长,求出MD的长,确定出M坐标,设y=a(x﹣2)2+6,把C坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;(2)由抛物线解析式设出P坐标,过点P做x轴的垂线,交直线CD于点F,利用待定系数法求出直线CD解析式,进而表示出F坐标,得到PF的表达式,表示出S与x的函数解析式,利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a).