Question

在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．
（1）如图1，若AE=

1

4

AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的长；
（2）如图2，若AE=BC且F为EC中点，求证：∠AFD=

1

2

∠C；
（3）若2∠AED-∠C=180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）证明：过点D作DG⊥AC交AC于G，（如图1）
∵D为AB的中点，
∴E为AC的中点，
∴DG为△ACB的中位线，
∴DG=

1

2

BC=1，
∵AE=

1

4

AC，AC=4，
∴AE=1，
在Rt△DGE中，DE=

12+12

=

2

；

（2）证明：连结BE，取BE中点M，再连结MF、MD．（如图2）
∵F为EC中点，D为AB中点，
∴MF∥BC且MF=

1

2

BC，MD∥AB且MD=

1

2

AB，
∴MF=MD，
∴∠MED=∠MDE，
又∵MD∥AB，
∴∠AFD=∠MDE，
∵∠MED=∠MDE，
∴∠AFD=

1

2

∠AFM，
∵MF∥AC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFD=

1

2

∠ACB，
即：∠AFD=

1

2

∠C；

（3）答：AC=2AE+BC，（如图3）
证明：在EC上截取EM=AE，连接BM，作CH⊥BM，
∵2∠AED-∠C=180°，
∴∠AED=90°+∠MCH，
∴∠AED=90°+

1

2

∠C，
∴∠C=2∠MCH，易证△CHM≌△CHB，
∴BC=MC，
∴AC=2AE+BC．