Question

【题目】如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当 = 时，延长AB至点E，使BE= AB，连接DE． ①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图2，连接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直径AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OBtan30°=6× =2 ，

在Rt△POD中，

PD= = =2

（2）解：①证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，

∵ = ，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE= AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OBcos30°=6× =3 ，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF= DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），

∴CP=CF﹣PF=3 ﹣3．

【解析】（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．