题目内容
【题目】已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BCCE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
【答案】
（1）
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴ 
= 
，即CG2=BCCE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE2=BCCE；
（2）
解：延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴ 
= 
，即BECN=ABCE，
∵AB=BC，BE2=BCCE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴ 
= 
= 
，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE2=BCCE可得x2=1（1﹣x），
解得：x1= 
，x2= 
（舍），
∴ 
= ，
则tan∠CBF= 
= = ．
【解析】（1）①由正方形的性质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，结合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，证△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜边AB中线知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，结合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，从而证△CGE∽△CBG得CG2=BCCE，由BE=CF=CG可得答案；（2）延长AE、DC交于点N，证△CEN∽△BEA得BECN=ABCE，由AB=BC、BE2=BCCE知CN=BE，再由 = = 且AM=MB得FC=CN=BE，设正方形的边长为1、BE=x，根据BE2=BCCE求得BE的长，最后由tan∠CBF= = 可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．
