题目内容

【题目】将矩形ABCD折叠使AC重合,折痕交BCE,交ADF

1)求证:四边形AECF为菱形;

2)若AB=4BC=8,求菱形的边长;

3)在(2)的条件下折痕EF的长.

【答案】1)见试题解析(2532

【解析】

试题(1)根据折叠的性质得OA=OCEF⊥ACEA=EC,再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA,则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE,得到OF=OE,加上OA=OCAC⊥EF,于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形;

2)设菱形的边长为x,则BE=BC﹣CE=8﹣xAE=x,在Rt△ABE中根据勾股定理得(8﹣x2+42=x2,然后解方程即可得到菱形的边长;

3)先在Rt△ABC中,利用勾股定理计算出AC=4,则OA=AC=2,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理计算出OE=,所以EF=2OE=2

试题解析:(1)证明:矩形ABCD折叠使AC重合,折痕为EF∴OA=OCEF⊥ACEA=EC

∵AD∥AC∴∠FAC=∠ECA,在△AOF△COE中,∴△AOF≌△COE

∴OF=OE∵OA=OCAC⊥EF

四边形AECF为菱形;

2)解:设菱形的边长为x,则BE=BC﹣CE=8﹣xAE=x

Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2

8﹣x2+42=x2,解得x=5

即菱形的边长为5

3)解:在Rt△ABC中,AC===4

∴OA=AC=2

Rt△AOE中,OE===

∴EF=2OE=2

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