题目内容
【题目】将矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求证:四边形AECF为菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长;
(3)在(2)的条件下折痕EF的长.
【答案】(1)见试题解析(2)5(3)2.
【解析】
试题(1)根据折叠的性质得OA=OC,EF⊥AC,EA=EC,再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA,则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE,得到OF=OE,加上OA=OC,AC⊥EF,于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形;
(2)设菱形的边长为x,则BE=BC﹣CE=8﹣x,AE=x,在Rt△ABE中根据勾股定理得(8﹣x)2+42=x2,然后解方程即可得到菱形的边长;
(3)先在Rt△ABC中,利用勾股定理计算出AC=4,则OA=
AC=2
,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理计算出OE=
,所以EF=2OE=2
.
试题解析:(1)证明:∵矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕为EF,∴OA=OC,EF⊥AC,EA=EC,
∵AD∥AC,∴∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中,,∴△AOF≌△COE,
∴OF=OE,∵OA=OC,AC⊥EF,
∴四边形AECF为菱形;
(2)解:设菱形的边长为x,则BE=BC﹣CE=8﹣x,AE=x,
在Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2,
∴(8﹣x)2+42=x2,解得x=5,
即菱形的边长为5;
(3)解:在Rt△ABC中,AC==
=4
,
∴OA=AC=2
,
在Rt△AOE中,OE==
=
,
∴EF=2OE=2.

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