Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点重合），连接PB，过点P作交射线DA于点F，连接BF． 已知AD=3，CD=3，设CP的长为x，

（1）线段的最小值 ，当x=1时， ；

（2）如图，当动点运动到AC的中点时，与的交点为G，的中点为，求线段GH的长度；

（3）当点在运动的过程中，

①试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由；

②当为何值时，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1），30°；（2）；（3）①30°；②x=3或3

【解析】

（1）当BP最小时，即BP⊥AC，根据相似三角形的性质，可求出BP值，当x=1时，可得出△BPN∽△PMF，由此可得出tan∠FBP的值，则可得到∠FBP的值；

（2）可证BP垂直平分AP，求得FP=，证GH是Rt△FGP中线，则GH=FP；

（3）①过P作PN⊥BC交AD于M，可证△FMP∽△PNB，设PC=x，PN=，可求得NC，MP，BN长度，tan∠FBP===，即可求得∠FBP的大小；

②分三种情况讨论求解即可.

（1）当BP最小时，A与F重合，即BP⊥AC，

∵AD=3，CD=3，

∴AC=6，∠BAC=30°，

在Rt△ABC和Rt△APB中，∠BAC=∠PAB，

∴△ABC∽△APB，

∴=，

∴=，

∴BP=；

作PM⊥BC于N，交AD于M，

当x=1时，PN=，MP=，CN=，BN=，

∵∠BNP=∠PMF=∠BPM=90°，

∴∠FPM+∠PFM=90°，∠FPM+∠BPN=90°,

∴∠PFM=∠BPN，

∴△BPN∽△PMF，

∴===tan∠FBP=，

∴当x=1时，∠FBP=30°;

（2）∵P为AC中点，

∴AP=PC=AB=3，

∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°，

在Rt△ABF和Rt△PBF中，AB=BP，BF=BF，

∴Rt△ABF≌Rt△PBF，

∴AG=PG，∠AGB=∠PGB=90°，

∴BF垂直平分AP，

在Rt△BFP中，∠PBF=30°，BP=3，

∴PF=tan30°×3=，

∵H为PF中点，

∴GH为Rt△PGF的中线，

∴GH=PF=;

（3）①∠FBP=30°，

过P作PN⊥BC交AD于M，

∵∠PBN=∠FPM，∠BPN=∠PFM，

∴△FMP∽△PNB，

设CP=x，则PN=，NC=x，MP=3-x，BN=3-x，

∴tan∠FBP===，

∴∠FBP=30°；

②（i）若AF=FP，则∠FPA=∠FAP=30°，

∴AB=BP，且△ABP为等边三角形，

∴BF为△ABP垂直平分线，

∴AB=BP=3，即x=3；

（ii）若AP=FP，则∠APF=120°＞90°（舍去）；

（iii）若AP=AF，则∠CBP=∠CPB=75°，BC=PC，此时x=3.