Question

【题目】阅读理解：如图1，在正多边形A1A2A3…An的边A2A3上任取一不与点A2重合的点B2，并以线段A1B2为边在线段A1A2的上方作以正多边形A1B2B3…Bn，把正多边形A1B2B3…Bn叫正多边形A1A2…An的准位似图形，点A3称为准位似中心．

特例论证：（1）如图2已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3，试证明：随着点B2的运动，∠B3A3A1的大小始终不变．

数学思考：（2）如图3已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4，随着点B2的运动，∠B3A3A4的大小始终不变？若不变，请求出∠B3A3A4的大小；若改变，请说明理由．

归纳猜想：（3）在图（1）的情况下：①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小（直接写出结果）；若改变，请说明理由．②∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1=　 　（用含n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不变，45°；（3）①不变，，②

【解析】

（1）先判断出△A2A1B2≌△A3A1B3，再利用等边三角形的性质即可得出结论；

（2）先判断出△A3B2B3≌△DA1B2，再利用正方形的性质即可得出结论；

（3）①先判断出△A3B2B3≌△DA1B2，再利用正多边形的边相等和每个内角即可得出结论；②利用①的结论和方法即可得出结论．

解：（1）证明：∵△A1A2A3与△A1B2B3是正三角形，

∴A1A2=A1A3，A1B2=A1B3，∠A2A1A3=∠B2A1B3=60°，

∴∠A2A1B2=∠A3A1B3，

∴△A2A1B2≌△A3A1B3，

∴∠B3A3A1=∠A2=60°，

∴∠B3A3A1的大小不变；

（2）∠B3A3A4的大小不变，

理由：如图，在边A1A2上取一点D，使A1D=A3B2，连接B2D，

∵四边形A1A2A3A4与A1B2B3B4是正方形，

∴A1B2=B2B3，∠A1B2B3=∠A1A2A3=90°，

∴∠A3B2B3+∠A1B2A2=90°，∠A2A1B2+∠A1B2A2=90°，

∴∠A3B2B3=∠A2A1B2，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=∠A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2B2=A2D，

∵∠A1A2A3=90°，

∴△DA2B2是等腰直角三角形，

∴∠A1DB2=135°，

∴∠B2A3B3=135°，

∵∠A4A3A2=90°，

∴∠B3A3A4=45°，

即：∠B3A3A4的大小始终不变；

（3）①∠B3A3B4的大小始终不变，理由：如图1，

在A1A2上取一点D，使A1D=A3B2，

连接B2D，

∵∠A2A1B2=180°﹣∠A1B2A2，∠A3B2B3=180°﹣∠A1B2A2，

∴∠A2A1B2=∠A3B2B3，

∵A1B2=B2B3，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2D=A2B2，

∴∠A1DB2==90°﹣

∴∠B3A3A4=∠A1DB2﹣∠B2A3A4=90°﹣﹣=；

②由①知，∠B3A3A4=，

同①的方法可得，∠B4A4A5=×2，∠B5A5A6=×3，…，∠BnAnA1=×（n﹣2），

∴①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1

=+×2+×3+…×（n﹣2）=，

故答案为：．