Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．

（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在ABCD中，

∵AD=AC，AD⊥AC，

∴AC=BC，AC⊥BC，

连接CE，

∵E是AB的中点，

∴AE=EC，CE⊥AB，

∴∠ACE=∠BCE=45°，

∴∠ECF=∠EAD=135°，

∵ED⊥EF，

∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，

在△CEF和△AED中， ，

∴△CEF≌△AED，

∴ED=EF；

（2）

解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，

∵AD=AC，

∴AC=CF，

∵DP∥AB，

∴FP=PB，

∴CP= AB=AE，

∴四边形ACPE为平行四边形；

（3）

解：垂直，

理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，

在△AME与△CNE中， ，

∴△AME≌△CNE，

∴∠ADE=∠CFE，

在△ADE与△CFE中， ，

∴△ADE≌△CFE，

∴∠DEA=∠FEC，

∵∠DEA+∠DEC=90°，

∴∠CEF+∠DEC=90°，

∴∠DEF=90°，

∴ED⊥EF．

【解析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP= AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．