题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
【解答】解：把点A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：
，
解得：
∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；
（2）
如图1：过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，
∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，
∴CE=1，
∵AO=BO=3，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBE=45°，
∴BE=CE=1，
∴OE=OB+BE=4，
∴点C的坐标为（﹣1，4）；
（3）
假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，如图2：
连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB=
=
，
∵S△APB=3，
∴PD=
∵∠PFD=∠ABO=45°，
∴PF=2，
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y=x+3，
∴可设点F的坐标为（m，m+3），
①当点P在直线AB上方时，
可得：﹣m2﹣2m+3=m+3+2，
解得：m=﹣1或﹣2，
∴符合条件的点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
②当点P在直线AB下方时，
可得：﹣m2﹣2m+3=m+3﹣2，
解得：m=
或
，
∴符合条件的点P坐标为（，
）或（，
）
综上可知符合条件的点P有4个，坐标分别为：（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．
【解析】（1）把点A（﹣3，0），B（0，3）两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c的值即可；
（2）过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，易求点C的横坐标，再求出OE的长，即可得到点C的纵坐标；
（3）假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB==3，设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设点F的坐标为（m，m+3），再分两种情况①当点P在直线AB上方时，②当点P在直线AB下方时分别讨论求出符合条件点P的坐标即可．
