Question

【题目】如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AE等于弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：等腰三角形；

∵BC为直径，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵ ，

∴∠ABE=∠C，

∴∠ABE=∠BAD，

∴AF=BF，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，

∴∠DAC=∠AGB，

∴FA=FG，

∴△FAG是等腰三角形

（2）解：成立；

∵BC为直径，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵ ，

∴∠ABE=∠C，

∴∠ABE=∠BAD，

∴AF=BF，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，

∴∠DAC=∠AGB，

∴FA=FG，

∴△FAG是等腰三角形

【解析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，从而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF=BF，从而证得FA=FG，判定等腰三角形；（2）成立，证明方法同（1）．
【考点精析】利用垂径定理和圆周角定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．