题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD，交y轴于点C．
（1）点C的坐标为 ；
（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发，也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动），设从出发起运动了x秒．
①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标；
②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？
（3）在（2）的条件下，在点P、Q运动过程中，过点Q作x轴的平行线OF（点G、F分别位于y轴的左、右两侧），∠GQP与∠APQ的角平分线交于点M，则∠PMQ的大小会随点P、Q的运动而变化吗？如果不变化，请求出∠PMQ的度数：若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）（0，5）；（2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；②存在，点E的坐标为（0，18.2）或（0，﹣4.2）；（3）∠PMQ的度数不变，值为90°．
【解析】
（1）作DE⊥x轴，根据点的坐标求出AE、DE、AO，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据题意、结合图形解答；
②分E在y轴的正半轴和E在y轴的负半轴两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
（3）得出∠GQP+∠APQ＝180°，求出∠PQM+∠QPM＝90°，则∠PMQ的度数不变．
（1）作DE⊥x轴，
∵A（﹣5，0），D（2，7），
∴AE＝DE＝7，AO＝5，
∵△CAO，△DAE为直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∴△CAO是等腰直角三角形，
∴CO＝AO＝5，
∴C（0，5）；
故答案为：（0，5）．
（2）①∵动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，B（5，0），
∴P（5﹣x，0）．
∵动点Q从C点出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动，C（0，5），
∴Q（0，5+x）．
即P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；
②存在．设E的坐标为（0，y），
当x＝2时，S△APQ＝（5+3）×7÷2＝28，
情况一：E在y轴的正半轴．
（y﹣7）×5÷2＝28．
∴y＝18.2．
∴E（0，18.2），
情况二：E在y轴的负半轴，
（7﹣y）×5÷2＝28，
∴y＝﹣4.2，
∴E（0，﹣4.2），
则点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2）．
（3）不变．
∵GF∥x轴，
∴∠GQP+∠APQ＝180°，
∵QM，PM分别平分∠GQP，∠APQ，
∴∠PQM＝
∠GQP，∠QPM＝∠APQ．
∴∠PQM+∠QPM＝ ∠GQP+∠APQ＝（∠GQP+∠APQ）＝×180°＝90°，
∵∠PMQ+∠PQM+∠QPM＝180°，
∴∠PMQ＝180°﹣（∠PQM+∠QPM）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠PMQ的度数不变．
