Question

【题目】如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；
（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连结OD，如图1，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴=，

∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，

∴OD⊥DF，

∴DF为⊙O的切线；

（2）

解：连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠ODB=60°，OB=BD=2，

∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，

∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，

∴PE==2，

∵OP⊥BC，

∴BP=CP=3，

∴CE=3﹣2=1，

易证得△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，

∴AE=

∵BE∥DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴=，即=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD

=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）

=12﹣+（22

=9﹣2π；

（3）

解：连结CD，如图2，

由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，

∵=，

∴CD=BD=2，

∵∠F=∠ABC=∠ADC，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，

∴△BFD∽△CDA，

∴=，即=，

∴xy=4，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，

而∠DFB=∠AFD，

∴△FDB∽△FAD，

∴=，即=，

整理得16﹣4y=xy，

∴16﹣4y=4，解得y=3，

即BF的长为3．

【解析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到= ， 再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算；
（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由=得到CD=BD=2，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．