Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上．
（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，试证明∠APE=60°的理由；
（2）如果BD=EC，那么“∠APE=60°”是否还能成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的三线合一，可知∠DAC=30°，在直角△AEP中，即可得出∠APE=60°；
（2）易证△ABD≌△BCE，得∠BAD=∠CBE，又∠CBE+∠ABE=60°，则∠BAD+∠ABE=60°，根据三角形外角的性质，可得∠APE=60°；

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DAC=30°，
∴在直角△AEP中，
∠APE=90°-30°=60°；

（2）解：仍然成立．理由如下：
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，又∠CBE+∠ABE=60°，
∴∠APE=∠BAD+∠ABE=60°．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，应熟记等腰三角形的三线合一及证明三角形全等的几个判定方法．