Question

【题目】已知点F是等边△ABC的边BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与等边△ABC在BC的同侧，且CD∥AB，连结BE．

（1）如图①，若AB=10，EF=8，请计算△BEF的面积；
（2）如图②，若点G是BE的中点，连接AG、DG、AD．试探究AG与DG的位置和数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵等边△ABC，

∴BC=AB=10，∠ABC=60°，

∵AB∥CD，

菱形DCFE中，DC∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠EFH=∠ABC=60°，

∵EH⊥CF

∴∠FEH=30°

∴FH= ，

∴EH= =4 ，

∵菱形CFED，EF=8，

∴CF=EF=8，

∴BF=BC+EF=18，

∴

（2）

解：AG⊥GD，AG= DG

理由如下：

如图2，延长DG与BC交于M，连接AM，

∵四边形CDEF是菱形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBM=∠GED，∠GMB=∠GDE，

∵G是BC的中点，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中，

∴△BGM≌△EGD（AAS），

∴BM=ED=CD，MG=DG，

∵等边△ABC中，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

又∵AB∥CD

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ACD=180°﹣（∠ACB+∠DCF）=60°，

∴∠ABC=∠ACD，

在△ABH和△ACD中，

∵ ，

∴△ABM≌△ACD（SAS），

∴∠BAM=∠CAD，AM=AD，

∴∠MAD=∠BAC=60°

∵AD=AM，MG=DG，

∴△MAD是等边三角形，

∴AG⊥MD，∠MAG=∠DAG=30°，

∴AG：DG= ，

∴AG= DG．

【解析】（1）如图1，作高线EH，利用平行线的性质得：∠FEH=30°，则FH= ，利用勾股定理求EH的长，利用三角形面积公式求面积即可；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证△BGM≌△EGD，则BM=ED=CD，MG=DG，再证明△ABM≌△ACD，则∠BAM=∠CAD，AM=AD，所以△MAD是等边三角形，由三线合一可得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的性质和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．