Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）根据旋转的性质即可证得结论；（2）直角三角形；（3）140°或110°或125°

试题分析：（1）根据旋转的性质即可证得结论；
（2）结合（1）的结论即可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
（1）根据题意知：△BOC≌△ADC
所以CO＝OD，ΔABC为等腰三角形
因为∠COD＝60°
所以△ADO是等边三角形
（2）由△ADO是等边三角形知∠ODC＝60°
由旋转知∠ADC＝∠BOC=150^O
所以∠ADO=150-60=90^O
所以三角形AOD为直角三角形
（3）1)当DO＝DC时
因为DO＝AO，DC＝BO    
所以OA＝OB
又因为OC＝OC，AC＝BC    
所以△ACO≌△BCO
所以∠ACO＝∠BCO＝60°/2＝30°  
因为∠BOC＝110°
所以∠AOC＝110°    
所以∠AOB＝360°－110°×2＝140°即x＝140
2)当DO＝CO时
因为DO＝AO所以OA＝OC    
又因为OB＝OB，AB＝BC
所以△ABO≌△CBO     
所以∠AOB＝∠COB＝110°即x＝110°
3)当CO＝CD时
因为CD＝BO
所以CO＝BO
因为AO＝AO，AB＝AC
所以△ABO≌△ACO
所以∠AOB＝∠AOC
所以∠AOB＝(360°－110°)÷2＝125°，解得x＝125°
综上所述，当x＝140°或x＝110°或x＝125°时△DOC是等腰三角形
点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．