题目内容
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.
【答案】
(1)解:∵平行四边形ABCD,
∴AD∥BC,AD=BC,OB=OD,
∴∠DMN=∠BCN,∠MDN=∠NBC,
∴△MND∽△CNB,
∴ ,
∵M为AD中点,
∴MD= AD= BC,即 = ,
∴ = ,即BN=2DN,
设OB=OD=x,则有BD=2x,BN=OB+ON=x+1,DN=x﹣1,
∴x+1=2(x﹣1),
解得:x=3,
∴BD=2x=6;
(2)解:∵△MND∽△CNB,且相似比为1:2,
∴MN:CN=DN:BN=1:2,
∴S△MND= S△CND=1,S△BNC=2S△CND=4.
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6
∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5.
【解析】(1)由四边形ABCD为平行四边形,得到对边平行且相等,且对角线互相平分,根据两直线平行内错角相等得到两对角相等,进而确定出三角形MND与三角形CNB相似,由相似得比例,得到DN:BN=1:2,设OB=OD=x,表示出BN与DN,求出x的值,即可确定出BD的长;(2)由相似三角形相似比为1:2,得到CN=2MN,BN=2DN.已知△DCN的面积,则由线段之比,得到△MND与△CNB的面积,从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND , 最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解.
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