Question

【题目】已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B的坐标为（1，0），

∴OB=1．

∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，

∴C（0，﹣3）．

∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得： ，解得：a= ，C=﹣3，

∴抛物线的解析式为y= x2+ x﹣3

（2）

解：如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．

∵x=﹣ = =﹣ ，B（1，0），

∴A（﹣4，0）．

∴AB=5．

∴S△ABC= ABOC= ×5×3=7.5．

设AC的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得： ，解得：k=﹣ ，b=﹣3，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3．

设D（a， a2+ a﹣3），则E（a，﹣ a﹣3）．

∵DE=﹣ a﹣3﹣（ a2+ a﹣3）=﹣ （a+2）2+3，

∴当a=﹣2时，DE有最大值，最大值为3．

∴△ADC的最大面积= DEAO= ×3×4=6．

∴四边形ABCD的面积的最大值为12

（3）

解：存在．

①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．

∵C（0，﹣3），令 x2+ x﹣3=﹣3，

∴x1=0，x2=﹣3．

∴P1（﹣3，﹣3）．

②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．

∵C（0，﹣3），

∴P2，P3的纵坐标均为3．

令y=3得： x2+ x﹣3=3，解得；x1= ，x2= ．

∴P2（ ，3），P3（ ，3）．

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（ ，3），P3（ ，3）

【解析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2+2m﹣3），然后求出DE的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD ， 转化为二次函数求最值；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1 ， 过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ， 此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P2 ， P3 ， 由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．