题目内容
【题目】如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= 
．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E． 
（1）求证： 
；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．
【答案】
（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= 
，
∴PC=4，PD=2 ，
∵CD⊥PQ，
∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，
在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，
在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴ 
= 
= 
= ，
即 = ．
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），
∴cos∠CPQ= 
，
∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2 ，PQ=2，
∴sin∠PDQ= 
，
∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，
又∵CD⊥PQ，
∴∠PQD=90°，
∴PD是⊙O2的直径，
∴∠PBD=90°，
∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°
在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，
答：∠E的度数是75°
【解析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出 = ，代入求出即可；（2）求出cos∠CPQ= ，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
