Question

如图，以AB为直径的⊙O经过点C，D是AB延长线上一点，且DC=AC，∠CAB=30°
小题1:试判断CD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由
小题2:若AB=2，求阴影部分的面积

Answer 1

小题1:CD与⊙O相切    ………………………………………………………    1分
理由如下：连接OC

∵OA=OC，∠CAB=30°………………     2分
∴∠ACO=∠CAB=30°
又∵AC=BC，∴∠ACD=180°-2∠CAB=120°…  3分
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=120°-30°=90°
∴CD与⊙O相切    ………………………  5分
小题2:∵∠COD=2∠CAB=60°，OC=………………………………………  6分
在Rt△OCD中，CD＝OC×tan60°=   …………………………………………  7分
∴  ………………………………………………………  8分
=  ……………………………………  10分

（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠A=30°，∠OCD=90°，从而得证；
（2）根据图中阴影部分的面积等于S△OCD-S扇形OCB可得出答案．