Question

【题目】已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2= x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8． 分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=16，且A（﹣6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x= =2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＜0，
∴x≥2；
②n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在对称轴两侧，
∴抛物线开口向上，则a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x= =﹣2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，
∴x≤﹣2．
综上所述，x≥2或x≤﹣2．

【解析】根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和抛物线与坐标轴的交点，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．