Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB解析式为：y=-

3

3

x+

3

．直线与x轴，y轴分别交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点C是AB的中点，过点C作CD⊥x轴于点D，E，F分别为BC，OD的中点，求点E的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式与坐标轴的交点求出A、B两点的坐标；
（2）利用：△ACD∽△ABO求出AD、CD，再根据EF是梯形OBCD的中位线求出EF的长进而求出E点坐标；
（3）先确定△OPB的直角所在的定点然后分情况讨论进行分析和排除．

解答：解：（1）将y=0代入y=-

3

3

x+

3

解得x=3，即A点坐标为（3，0）
将x=0代入y=-

3

3

x+

3

解得y=

3

，即B点坐标为（0，

3

）；

（2）证得：△ACD∽△ABO CD=

1

2

BO=

1

2

3

，AD=OD=

1

2

AO=

3

2

∵E，F分别为BC，OD的中点，CD∥BO
∴EF=

1

2

（BO+CD）=

1

2

（

3

+

1

2

3

）=

3

4

OF=

1

2

OD=

3

4

∴E（

3

4

，

3

4

） …5分

（3）当∠OBP=90°时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，∴P₁（3，

3

3

）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1．
∴P₂（1，

3

）．
当∠OPB=90°时③过点P作OP⊥BC于点P（如图②），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

；PM=

3

OM=

3 3

4

．
∴（

3

4

，

3 3

4

）．
方法二：设P（x，-

3

3

x+

3

），得OM=x，PM=-

3

3

x+

3

，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM=

PM

OM

=tan∠ABO=

OA

OB

=

3

．
∴-

3

3

x+

3

=

3

x，解得x=

3

4

．此时，（

3

4

，

3 3

4

）．
④若△POB∽△OBA（如图③），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=

3

4

．
∴P₄（

3

4

，

3

4

）（由对称性也可得到点P₄的坐标）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：P₁（3，

3

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）． …做出一种情况1分

点评：本题重点考查了一次函数和相似三角形性质相结合的问题，是典型的数形结合的题目．