Question

如图，已知在△ABC中，∠A = 90°，，经过这个三角形重心的直线DE // BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G．设BM = x，四边形AFPG的面积为y．

（1）求PM的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结MF、MG，当△PMF与△PMG相似时，求BM的长．

Answer 1

（1）PM =1（2） () （3）或．

试题分析：解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交DE于点Q．
∵ ∠BAC = 90°，，∴BC = 6．
又∵ AH⊥BC，∴ ，Q是△ABC的重心．
∴ ．
∵ DE // BC，PM⊥BC，AH⊥BC，
∴ PM = QH = 1．
（2）延长FP，交BC于点N．
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，∴ ∠B = 45°．
于是，由 FN⊥AB，得 ∠PNM = 45°．
又由 PM⊥BC，得 MN = PM = 1，．
∴ BN = BM +MN = x +1，．
∴ ，
．
∵ PF⊥AB，PG⊥AC，∠BAC = 90°，∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°．
∴ 四边形AFPG是矩形．
∴ ，
即 所求函数解析式为．
定义域为．
（3）∵ 四边形AFPG是矩形，∴ ．
由 ∠FPM =∠GPM = 135°，可知，当△PMF与△PMG相似时，有两种
情况：∠PFM =∠PGM或∠PFM =∠PMG．
（ⅰ）如果 ∠PFM =∠PGM，那么 ．即得 PF = PG．
∴ ．
解得 x = 3．即得 BM = 3．
（ⅱ）如果 ∠PFM =∠PMG，那么 ．即得 ．
∴ ．
解得 ，．
即得 或．
∴ 当△PMF与△PMG相似时，BM的长等于或3或．
点评：该题相对较复杂，主要考查学生对几何图中线段的关系、面积等的表达式，求线段的长度除了可以直接求得，还可以通过等量代换求出。