Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；

则D点坐标为（﹣2，）．

（2）

解：∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tan∠DAP=，

∴∠DAP=60°，

又∵△APQ为等边三角形，

∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：

AP=AD==2．

①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积．

AP=t，

∵∠QAP=60°，

∴点Q的纵坐标为tsin60°=t，

∴S=×t×t=t2．

②当2＜t≤3时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，

设QP与DC交于点H，

∵DC∥AP，

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，

∴△QDH是等边三角形，

∴S=S△QAP﹣S△QDH，

∵QA=t，

∴S△QAP=t2．

∵QD=t﹣2，

∴S△QDH=（t﹣2）2，

∴S=t2﹣（t﹣2）2=t﹣．

③当3＜t≤4时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，

设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，

∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，

∴OF=OPtan60°=（t﹣3），

∴S△FOP=×（t﹣3）（t﹣3）=（t﹣3）2，

∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=t﹣．

∴S=t﹣﹣（t﹣3）2=﹣t2+4t﹣．

综上所述，S与t之间的函数关系式为S=．

（3）

解：∵OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．

①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：

过点M2作AO的垂线，垂足为N，

∵∠M2AO=30°，AO=3，

∴M2O=，

又∵∠OM2N=M2AO=30°，

∴ON=OM2=，M2N=ON=，

∴M2的坐标为（﹣，）．

同理可得M1的坐标为（﹣，）．

②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：

∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，

∴=，或=，

∵OA=3，

∴AM=或AM=3，

∵AM⊥OA，且点M在第二象限，

∴点M的坐标为（﹣3，）或（﹣3，3）．

综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，），（﹣3，3），（﹣，），（﹣，）．

【解析】（1）直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可；
（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）由于OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可．