Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=12，CF=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∴ = ，

∴OD⊥EF，

∵EF∥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）

解：连接DE，

∵ = ，

∴DE=DF，

∵EF∥BC，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠4，

∵∠DFC=∠AED，

∴△AED∽△DFC，

∴ = ，即 = ，

∴DE2=72，

∴DE=6 ．

【解析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到 = ，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；（2）连接DE，由 = ，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；