题目内容
【题目】如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣
x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;
②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+
x+2;(2)①点M的坐标为(2.5,0)或(
,0);②m的值为
或﹣1或﹣
.
【解析】试题分析:(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可求得B点坐标,由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)①由M点坐标可表示P、N的坐标,从而可表示出MA、MP、PN、PB的长,分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况,分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程,可求得m的值;
②用m可表示出M、P、N的坐标,由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点,可分别得到关于m的方程,可求得m的值.
试题解析:解:
(1)∵与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,∴0=﹣2+c,解得c=2,∴B(0,2),∵抛物线
经过点A,B,∴
,解得:
,∴抛物线解析式为
;
(2)①由(1)可知直线解析式为,∵M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N,∴P(m,
),N(m,
),∴PM=
,PA=3﹣m,PN=
﹣(
)=
,∵△BPN和△APM相似,且∠BPN=∠APM,∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,分两种情况:
当∠BNP=90°时,则有BN⊥MN,∴点N的纵坐标为2,∴ =2,解得m=0(舍去)或m=
,∴M(
,0);
当∠NBP=90°时,则有,∵A(3,0),B(0,2),P(m,
),∴BP=
=
,AP=
=
(3﹣m),∴
,解得m=0(舍去)或m=
,∴M(
,0);
综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时,点M的坐标为(,0)或(
,0);
②由①可知M(m,0),P(m, ),N(m,
),∵M,P,N三点为“共谐点”,∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点,当P为线段MN的中点时,则有2(
)=
,解得m=3(三点重合,舍去)或m=
;
当M为线段PN的中点时,则有+(
)=0,解得m=3(舍去)或m=﹣1;
当N为线段PM的中点时,则有=2(
),解得m=3(舍去)或m=
;
综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或
.
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