题目内容

【题目】如图,抛物线yax2+bx+x轴交于点A(﹣50),B10),顶点为D,与y轴交于点C

1)求抛物线的表达式及D点坐标;

2)在直线AC上方的抛物线上是否存在点E,使得∠ECA2CAB,如果存在这样的点E,求出ACE面积,如果不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x22x+,顶点D(﹣2)(2SAEC

【解析】

1)用待定系数法可求抛物线的表达式,即可求顶点D坐标;

2)过点CCMAB,过点EEFCM,设点Em-m2-2m+),通过证明CEF∽△ACB,可得 ,即可求m的值,代入可求点E坐标,由面积和差关系可求ACE面积.

解:(1)∵抛物线yax2+bx+x轴交于点A(﹣50),B10),

∴抛物线的表达式为:

∴顶点D(﹣2

2)如图,过点CCMAB,过点EEFCM

设点Em,﹣m22m+

y=﹣x22x+y轴交于点C

∴点C0),

OC

CMAB

∴∠MCA=∠CAB

∵∠ECA2CAB=∠ECF+MCA

∴∠ECF=∠CAB,且∠AOC=∠EFC90°

∴△CEF∽△ACO

m0(不合题意),m=﹣3

∴点E(﹣34),

SAEC×+4×3+×4×2×5×

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