Question

如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连结AH交BD于G点，交EC的延长线于F点．
（1）求证：EH=AB；
（2）若AD=6，求CF的长．

Answer 1

考点：矩形的性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上中线得出BC=2EH，即可得出答案．
（2）根据勾股定理求出AC，求出∠CAF=∠F，根据等腰三角形的判定推出AC=CF，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∵H为BC中点，
∴EH=

1

2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=EH．
    
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD=BC=6，CD=AB=3，
∴由勾股定理知AC=3

5

，
∵H为BC中点，BC=2AB，
∴AB=BH，
∵矩形ABCD中，∠ABH=90°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DCB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE+∠CDB=∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠ECB=∠CDB，
∵AB∥DC，
∴∠ECH=∠CDE=∠BAO，
∵∠BAO=∠BAH+∠HAC，
∴∠F=∠HAC，
∴CF=AC=3

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．