Question

7．已知a、b、c满足a+b+c=0且abc＞0，其中x=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$，y=a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），求代数式x²⁰¹⁴-xy+y³的值．

Answer 1

分析 根据已知条件判断a、b、c的符号两负一正，以及当a＞0时，$\frac{a}{|a|}$=1，当a＜0时，$\frac{a}{|a|}$=-1，可求x的值，将y的不等式变形为$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$，由a+b+c=0，得b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，可求y的值，代入所求算式即可

解答 解：由a+b+c=0，且abc＞0，可知a、b、c三数中，两负一正，
∵当a＞0时，$\frac{a}{|a|}$=1，当a＜0时，$\frac{a}{|a|}$=-1，
∴x=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$=-1，y=a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=-3，
∴x²⁰¹⁴-xy+y³=（-1）²⁰¹⁴-（-1）×（-3）+（-3）³
=1-3-27=-29．

点评 本题考查了代数式的求值，运用了$\frac{a}{|a|}$=±1，同分母的运算，分类讨论的方法．