Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求$\frac{OB}{DB}$的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠2=∠3得到：BC=BE；
（2）通过相似三角形（△COD∽△EOB）的对应边成比例得到$\frac{CD}{EB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{7}{5}$，然后利用分式的性质可以求得$\frac{OB}{DB}$=$\frac{5}{12}$．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠1=∠2．
∵CE平分∠BCD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BC=BE，
∴△EBC是等腰三角形；

解：（2）∵∠1=∠2，∠4=∠5，
∴△COD∽△EOB，
∴$\frac{CD}{EB}$=$\frac{OD}{OB}$．
∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=7．
∵BE=BC=5，
∴$\frac{CD}{EB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{7}{5}$，
∴$\frac{OB}{DB}$=$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．